計算論的物理主義

第2章：計算可能性理論による厳密な証明

はじめに

第1回では、計算論的物理主義の概要を提示しました。本稿では、その理論的基盤である計算可能性理論を用いて、「人間の知性は原理的にAIによって模倣可能である」という主張を厳密に証明します。

前提：物理的チャーチ＝チューリングのテーゼ

古典的チャーチ＝チューリングのテーゼ

効果的に計算可能な関数は、チューリングマシンによって計算可能である。

物理的チャーチ＝チューリングのテーゼ（強いバージョン）

物理的に実現可能なすべての計算過程は、確率的チューリングマシンによってシミュレート可能である。

この拡張版は量子計算も含みます。重要なのは、人間の脳も物理系である以上、この制約から逃れられないということです。

証明の構造

定理1：人間の知的活動の有限性

主張：任意の人間の知的活動は、有限の計算ステップで記述可能である。

証明：

1. 人間の脳はニューロン数N（≈10^11）で構成される
2. 各ニューロンの状態数をS、シナプス結合数をC（≈10^4）とする
3. 脳の可能な状態数は高々 S^N × C^N（有限）
4. 人間の寿命をT秒、最小時間単位をΔt（≈10^-3秒）とする
5. 生涯の状態遷移数は高々 T/Δt（有限）
∴ 人間の知的活動は有限オートマトンで記述可能

定理2：有限の観測による関数近似

主張：計算可能な関数fに対し、有限の入出力ペアから任意の精度εで近似する関数f’が構成可能である。

証明（PAC学習理論による）：

def pac_approximation(f, epsilon, delta):
    """
    f: 目標関数（人間の知的活動）
    epsilon: 許容誤差
    delta: 失敗確率の上限
    """
    # サンプル複雑性
    m = compute_sample_complexity(epsilon, delta, vc_dim)
    
    # m個の入出力ペアを観測
    samples = [(x_i, f(x_i)) for i in range(m)]
    
    # 仮説クラスHから最良の近似を選択
    f_prime = empirical_risk_minimization(samples, H)
    
    # 確率1-δ以上で |f(x) - f_prime(x)| < epsilon
    return f_prime

VC次元が有限の仮説クラスに対し、サンプル数は：

m = O((1/ε²)(d·log(1/ε) + log(1/δ)))

ここでdはVC次元。

定理3：ニューラルネットワークの万能近似定理

Cybenko (1989), Hornik (1991)：

1層の隠れ層を持つフィードフォワードニューラルネットワークは、コンパクト集合上の任意の連続関数を任意の精度で近似できる。

class UniversalApproximator:
    def __init__(self, input_dim, hidden_units):
        self.W1 = random_matrix(hidden_units, input_dim)
        self.b1 = random_vector(hidden_units)
        self.W2 = random_matrix(1, hidden_units)
        self.b2 = random_scalar()
    
    def forward(self, x):
        # 任意の連続関数を近似
        h = sigmoid(self.W1 @ x + self.b1)
        return self.W2 @ h + self.b2

計算量仮説の形式化

定義：知的活動の計算量

知的活動を探索問題として定式化：

Intelligence(P) = min{T(A) | A solves P}

ここで：

  • P：問題（探索空間S、評価関数v: S → R）
  • A：アルゴリズム
  • T(A)：Aの時間計算量

知性の階層

class IntelligenceHierarchy:
    PATTERN_FOLLOWING = 0  # O(1) - 定数時間
    OPTIMIZATION = 1       # O(poly(n)) - 多項式時間
    INNOVATION = 2         # O(exp(n)) - 指数時間以上
    
    @staticmethod
    def classify(computation_time, input_size):
        if computation_time == O(1):
            return IntelligenceHierarchy.PATTERN_FOLLOWING
        elif computation_time <= O(input_size ** k):  # k: 定数
            return IntelligenceHierarchy.OPTIMIZATION
        else:
            return IntelligenceHierarchy.INNOVATION

ブラックボックス等価性の形式化

定義：機能的等価性

2つのシステムS₁、S₂が機能的に等価であるとは：

∀x ∈ Input: |S₁(x) - S₂(x)| < ε

実装：等価性検証アルゴリズム

def verify_equivalence(system1, system2, test_inputs, epsilon):
    """
    ブラックボックス等価性の検証
    """
    for x in test_inputs:
        y1 = system1(x)
        y2 = system2(x)
        if distance(y1, y2) >= epsilon:
            return False, x  # 反例
    
    # 統計的保証
    confidence = compute_pac_confidence(len(test_inputs), epsilon)
    return True, confidence

模倣の階層的アプローチ

レベル1：行動レベルの模倣

class BehavioralImitation:
    def __init__(self, observations):
        self.model = train_sequence_model(observations)
    
    def predict(self, context):
        return self.model.generate(context)

レベル2：認知プロセスの模倣

class CognitiveImitation:
    def __init__(self, cognitive_traces):
        self.working_memory = WorkingMemory(capacity=7±2)
        self.long_term_memory = LongTermMemory()
        self.attention = AttentionMechanism()
    
    def think(self, input_data):
        attended = self.attention.focus(input_data)
        relevant_memories = self.long_term_memory.retrieve(attended)
        return self.working_memory.process(attended, relevant_memories)

レベル3：創発的特性の模倣

class EmergentImitation:
    def __init__(self, num_agents):
        self.agents = [CognitiveAgent() for _ in range(num_agents)]
        self.connections = self.create_network_topology()
    
    def simulate(self, timesteps):
        for t in range(timesteps):
            # 局所的相互作用から大域的パターンが創発
            for agent in self.agents:
                neighbors = self.get_neighbors(agent)
                agent.update(neighbors)

反論への応答

反論1：ゲーデルの不完全性定理

反論：「人間は形式システムの限界を超えた真理を認識できる」

応答：

def goedel_response():
    # 人間もまた形式システムである
    human_system = FormalSystem(axioms=physics_laws)
    
    # ゲーデル文G：「Gは証明できない」
    G = goedel_sentence(human_system)
    
    # 人間がGを真と認識できるのは、メタレベルに立つから
    # しかし、そのメタレベルも別の形式システム
    meta_system = FormalSystem(axioms=extended_physics)
    
    # 無限後退するが、各レベルは計算可能
    return "各レベルでの推論は計算可能"

反論2：クオリアの問題

反論：「主観的体験は計算では捉えられない」

応答： 本理論は機能主義的立場を取る。重要なのは入出力の一致であり、内的体験の同一性は工学的には無関係。

def functional_equivalence_suffices():
    # クオリアの有無に関わらず、行動が同一なら機能的に等価
    human_response = human.experience_red()
    ai_response = ai.process_wavelength(700nm)
    
    assert behavioral_equivalence(human_response, ai_response)
    # 内的体験の差異は外部から観測不可能

実証的検証の可能性

段階的検証プログラム

  1. 部分的認知機能（現在〜10年）
    • 言語理解、視覚認識、問題解決
    • 既に多くの領域で人間レベルに到達
  2. 統合的認知機能（10〜30年）
    • マルチモーダル理解、文脈依存推論
    • 現在急速に発展中
  3. 創造的認知機能（30〜100年）
    • 新概念の創出、パラダイムシフト
    • 理論的には可能、技術的課題が残る

結論

計算可能性理論の観点から、人間の知的活動は：

  1. 有限の計算過程として記述可能
  2. 万能近似定理により任意精度で近似可能
  3. PAC学習理論により有限サンプルから学習可能

これらの数学的事実は、人間の知性の特別性という直感に反するかもしれません。しかし、科学の歴史は常に人間中心的な幻想を打ち破ってきました。地動説、進化論、そして今、知性の計算論的理解がその系譜に連なるのです。

次回は、この理論的基盤が既存のAI研究とどのように関連し、どこが新しいのかを詳細に分析します。

参考文献（第2回追加分）

  • Cybenko, G. (1989). Approximation by superpositions of a sigmoidal function
  • Hornik, K. (1991). Approximation capabilities of multilayer feedforward networks
  • Valiant, L. (1984). A theory of the learnable
  • Siegelmann, H. T. (1995). Computation beyond the Turing limit
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